בצעירותו למד בבית-ספר עברי והיה אחד מתלמידיו של ד"ר יצחק אפשטיין, שפעל רבות למען החינוך העברי בסלוניקי. ד"ר אפשטיין נהג לבחור אחדים מבין תלמידיו שיסעו להשתלם בהוראה בארץ-ישראל, כדי שישובו לסלוניקי וילמדו בה עברית. משה אטיאש נבחר יחד עם עוד שישה תלמידים, הגיע לירושלים באביב תרע"ד, וסיים את לימודיו בבית המדרש למורים העברי שניהל דוד ילין. בזמן לימודיו לימד עברית בשעורי ערב למבוגרים בירושלים העתיקה. לאחר מכן לימד בבית-ספר בחדרה והיה גם למנהלו. שם גם נתן שעורי ערב לפועלים ואף היה פעיל בסניף המקומי של "מכבי". כל העת פעל למען עלייתם ארצה של יהודי יוון ולהקלת סבלם של אחיו.

אטיאש היה פעיל בעסקנות ציבורית. עבד במזכירות הוועד הלאומי בירושלים ועמד בראשה משנת תרפ"ט עד קום המדינה. בשנות המנדט, כחלק מהנהגת היישוב, היה מזכיר שבלט בשכלו הטוב והתגלה כבעל יכולת ארגונית, חוש אחריות וחזון. עמו פעלו דוד ילין, יצחק בן צבי, פנחס רוטנברג ודוד רמז. על התקופה הזו כתב בספריו ספר התעודות של הוועד הלאומי וכנסת ישראל בארץ ישראל: ייסודה וארגונה. 

אטיאש היה פעיל בוועד עדת הספרדים, בין בני עדות המזרח וביסוד הסתדרות הצעירים הספרדים בירושלים. קצר המקום למנות את עיסוקיו במסגרות רבות, ונציין רק, לעניינו, שאטיאש היה חבר המועצה של המכון הארץ-ישראלי לפולקלור ואתנולוגיה. אכן, פרק חשוב בחייו הוא התעניינותו בפולקלור של יהודי ספרד, מנהגיהם ומסורתם. אטיאש עסק באיסוף שירים, סיפורים, אגדות, אמרות ומנהגים הקשורים בחגים ובמועדים. את מחקריו בנושאים אלה פרסם במאמרים רבים.

עוד בימיו בסלוניקי פרסם אטיאש מאמרים בעיתונות היהודית: בעיתונים אל ג'ודיו, לא רינסנסה ג'ודיה ואחר כך בעיתונות ובכתבי עת בארץ-ישראל. עם קום המדינה התמנה למנהלה הראשון של מחלקת החינוך של עיריית ירושלים ושימש בתפקיד הזה חמש עשרה שנה. שני ספריו, פאר יצירותיו בעברית, רומנסירו ספרדי (1961, הוצאת "קרית ספר") ו-קנסיונרו ספרדי (1972) (הוצאת המכון לחקר יהדית שאלוניקי) הציגו תמונה נאה ועשירה של הרפרטואר של מסורת יהודי ספרד.

משה אטיאש נשא לאישה את אליגרה, בתו של אברהם ביגאס מלאריסה שביוון, ועמה גידל את צאצאיו: יונה, אסתר ודניאל, שברכו אותו בנכדים אוהבים.