מאורעותיה הקשים של מלחמת העולם הראשונה השפיעו על משפחת אברמוביץ' והם ביקשו לצאת מרוסיה. הם נאלצו להמתין עד לשנת 1932, כשנפתחו גבולות המדינה להרף עין ונוצרה הזדמנות נדירה לצאת. לאחר קשיים ביורוקרטים רבים יצאה המשפחה לפולין והתגוררה בוורשה אצל קרובי משפחה. זמן קצר לאחר מכן עזבה משפחת אברמוביץ' את פולין ועלתה לפלשתינה. סשה, שהיה אז בן 18 – מבוגר מכדי להיכלל באשרת הכניסה לארץ של הוריו ואחיו – הגיע כשנה וחצי אחריהם, בשנת 1934, והצטרף לדירת המשפחה הקטנה, ברח' יהודה הלוי 89 בתל אביב.
ארגוב קיווה להשתלב בעשייה המוסיקלית בארץ ואף מצא עבודות מזדמנות בליווי רקדנים וזמרים בפסנתר, אך אלה לא הבטיחו פרנסה קבועה והוא חיפש מקור הכנסה אחר. הוא מצא עבודה כקופאי בבנק לתעשייה ברחוב מונטיפיורי בתל-אביב. למרות שלא אהב את עבודתו בבנק הוא התמיד בה כ-22 שנה, עד לשנת 1957, כשהוא עוסק במוסיקה בשעות הפנאי שלו. אי-התלות הכלכלית בעשייה מוסיקלית הקנתה לארגוב חופש אמנותי מוחלט. לימים הסביר: "במשך שנים הייתי פקיד בבנק ולפעמים זה היה עצוב מאוד. אני כל כך רחוק מבנקאות. זה הדבר שהכי לא התאים לי... הייתי חוזר הביתה, שוכח את הכתובת של הבנק ופותח פנקס כדי לבדוק לאן אני הולך מחר. עד כדי כך זה לא עניין אותי. אבל אני לא רציתי להתפרנס ממוסיקה ולעמוד מול הצורך הזה לקחת כל שיר שנותנים לי. השארתי לי את הפריבילגיה לבחור את הטובים בעיני באמת... זה פרינציפ אצלי – לא רוצה לחיות מן המוסיקה. המוסיקה היא הקצפת, משהו טהור שלא למען כסף...".
את השנים הבאות הקדיש ארגוב, לצד אהבתו הראשונה, המוסיקה, לאהבתו השנייה, הספרות הרוסית. ארגוב, שפקד רבות את חנות הספרים הרוסיים "בולסלבסקי" שברח' אלנבי 72 בתל אביב, התחיל לעבוד בה כשותף משנת 1957. שבע שנים מאוחר יותר הוא רכש אותה והחנות הפכה למוקד עלייה לרגל לשוחרי התרבות הרוסית בארץ. הוא המשיך לעבוד בחנות עד שמכר אותה בשנת 1989.
ההזדמנות הראשונה לכתוב מוסיקה נקרתה בדרכו כשנתיים-שלוש לאחר עלייתו לארץ, כשהמחזאי, הבמאי והמפיק גרשון פלוטקין הזמין אותו להלחין שירים וללוות בפסנתר אירועים שונים של גרעין התיישבות השומר הצעיר "ארץ ישראל ג'" (לימים, קיבוץ חצור). שיתוף הפעולה ביניהם נמשך כשתים-עשרה שנה ובמהלכן חיבר ארגוב מאות שירים להצגות מוסיקליות (ביניהן למחזמר
הצרצר והנמלים, שכתב בני רוזנברג), לחגים ולאירועים שונים שהתקיימו בקיבוץ חצור ובקיבוצים נוספים. רוב השירים לא תועדו ולא נשתמרו.
בשנת 1945, פגש סשה את נוסיה (אסתר) אבלס. נוסיה, שהנגינה בפסנתר הייתה חביבה עליה עוד מימיה בפולין, הקפידה לבוא לבית, שבו התגורר עם אחיו גוטיה ובן דודו, בכל יום אחר הצהריים, להתאמן בנגינה. בין השניים התפתחה מערכת יחסים קרובה וכעבור כמה חודשים הפתיע אותה סשה בהצהרה: "או שאנחנו מתחתנים או שניפרד לעולם". וכך במרץ 1946, נישאו השניים בתל-אביב. שנתיים אחר-כך, ובעצת חברו הסופר בנימין תמוז, אף שינה את שמו מאברמוביץ' לארגוב. לסשה ונוסיה ארגוב נולדו שני ילדים – איתמר וטלי.
לקראת סוף שנות ה-40 החלו לזרום אל ארגוב בקשות להלחנת פזמונים. להקת "איילון", אשר פעלה במסגרת הפלמ"ח, הייתה הלהקה הראשונה שהלחין לה פזמונים והוא אף ליווה אותה בפסנתר בכל רחבי הארץ בתכניתה "בלי תקן"..
תכנייה של המופע "בלי תקן"
